5.5.- FORMA BÁSICA DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE

5.5.1.- INTRODUCCIÓN.

5.5.1.1.- Coordenada cartesiana.

Un sistema de n partículas tiene 3n grados de libertad, entonces se requiere 3n coordenadas cartesianas para especificar su configuración. El vector que contiene 3n coordenadas cartesianas es:

[5.1.1.O1]

5.5.1.2 Ligaduras.- Se denominan ligaduras a las restricciones sobre las coordenadas de un sistema, siendo independientes de las fuerzas actuantes, es decir, son condiciones que restringen el movimiento de una partícula o sistema de partículas.

En cualquier sistema dinámico aparecen ligaduras que restringen el movimiento, además de fuerzas que controlan su evolución.

Ejemplo de un péndulo simple:

Figura F5-5.5.1a.- Péndulo Simple

El efecto de la fuerza desconocida es mantener la masa a la distancia del origen O, haciendo que el movimiento de la masa esté restringido. Cuando ocurre esto, se dice entonces que la masa está sometida a una ligadura y a la fuerza que restringe su movimiento (la ejercida por la cuerda) se le llama fuerza de ligadura.

a).- Algunas ligaduras en sistemas sencillos:

i).- En el caso de un bloque que se desliza sobre un plano inclinado, dicho bloque está obligado a moverse sobre el plano (ver figura F5-5.5.1b) y la ligadura puede expresarse como: .

ii).- El péndulo de la figura F5-5.5.1a, está obligada a moverse en una trayectoria semicircular. En este caso la ligadura se puede expresar como: .

iii).- En un cuerpo rígido (ver figura F5-5.5.1c) las partículas están enlazadas de manera que la distancia entre ellas permanece constantes, pudiéndose establecer la ligadura como: .

Figura F5-5.5.1b.- Un bloque de masa m que se mueve sobre una superficie inclinada.

 

Figura F5-5.5.1c.- Cuerpo rígido.

Figura F5-5.5.1d.- Dos masas m1 y m2 unidas por una barra rígida de longitud .

b).- Clasificación de ligaduras.- Las ligaduras se pueden clasificar de varias formas, a continuación algunas de ellas:

i).- Si son o no desigualdades:

Dependen de las ecuaciones de ligadura, estás describen los efectos de la fuerza, es decir, sus implicaciones sobre la dinámica del sistema al que se aplique una determinada fuerza.

*).- Unilaterales.- Se dice que una ligadura es unilateral cuando son expresadas mediante una desigualdad.

Ejemplo de algunas ligaduras unilaterales:

1).- Si se tiene un sistema de moléculas de gas encerrado en una esfera de radio R(ver figura F5-5.5.1e), las posiciones , de las moléculas deben satisfacer las ligaduras, .

Figura F5-5.5.1e.- Moléculas de gas encerradas en una esfera de radio R.

2).- Una partícula colocada sobre la superficie de una esfera de radio R, está sujeta a una ligadura que se puede escribir como, .

Figura F5-5.5.1f.- Partícula que se desliza sobre la superficie de una esfera de radio R.

**).- Bilaterales(o reversibles).- Se da cuando el sistema o cuerpo está permanentemente en contacto con el vínculo, luego se dice que una ligadura es bilateral cuando se expresa mediante una igualdad. Este tipo de ligaduras pueden escribirse en la forma general:

El subíndice l indica que puede haber más de una ligadura de este tipo en el sistema, siendo m el número total de ellos.

Ejemplo de algunas ligaduras bilaterales, están dadas en las ligaduras dadas por las figuras F5-5.5.1c y F5-5.5.1d.

ii).- Si dependen explícitamente o implícitamente del tiempo:

*).- Ligaduras reónomas.- Se dice que una ligadura es reónoma si depende explícitamente del tiempo. También se les llaman ligaduras móviles.

Ejemplo de algunas ligaduras reónomas:

1).- La ligadura presente en un sistema donde una canica hueca se desliza a través de un alambre rígido y curvo, de manera tal que el alambre se mueve de una forma predeterminada. Es de hacer notar que, si el alambre se mueve como una reacción al movimiento de la canica, entonces la dependencia de la ligadura respecto al tiempo entra en la ecuación de la misma sólo a través de las coordenadas del alambre curvado (las cuales son ahora parte del sistema de coordenadas), por esta razón la ligadura resultante no depende explícitamente del tiempo y por lo tanto no es reónoma.

2).- La ligadura presente en un sistema de moléculas de gas encerrado en una esfera cuyo radio R depende del tiempo (ver figura F5-5.5.1e, con la diferencia de que R=R(t)). En este sistema las posiciones de las moléculas deben satisfacer las ligaduras, .

3).- La ligadura presente en un sistema donde una partícula de masa m se desplazas sobre un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación varía con el tiempo (ver figura F5-5.5.1g). En este caso la ligadura viene representada por, .

Figura F5-5.5.1g.- Partícula que se mueve sobre un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación varía con el tiempo.

**).- Ligaduras esclerónomas.- Se dice que una ligadura es esclerónoma si no depende explícitamente del tiempo. También se les llaman ligaduras fijas o estacionarias.

Por otro lado, si un sistema tiene todas sus ligaduras esclerónomas entonces se dice que el mismo es esclerónomo, pero si al menos una de sus ligaduras no lo es entonces se dice que es reónomo.

Ejemplo de algunas ligaduras esclerónomas:

Las ligaduras expresadas por las figuras: F5-5.5.1c, F5-5.5.1d, F5-5.5.1e y F5-5.5.1f son ligaduras esclerónomas.

iii).- Por su integridad:

*).- Ligaduras holónomas o geométricas.- Son ligaduras bilaterales que no dependen de las velocidades, sólo dependen de las posiciones de las partículas y el tiempo, exclusivamente. Son integrables, por lo tanto, es posible emplearlas para eliminar las coordenadas dependientes puesto que expresan relaciones algebraicas entre las coordenadas.

Este tipo de ligaduras son geométricas (curvas, superficies, etc.) y se pueden escribir en la forma:

Ejemplo de algunas ligaduras holónomas:

Las ligaduras expresadas por las figuras: F5-5.5.1c, F5-5.5.1d y F5-5.5.1e

**).- Ligaduras no-holónomas.- Se dice que una ligadura es no-holónoma cuando no se pueden escribir como ligaduras holónomas, es decir, no se pueden escribir en la forma expresada por expresión anterior. No son integrables, por lo tanto, es imposible emplear las ecuaciones que la expresan para eliminar las coordenadas dependientes.

Si en un sistema al menos una de las ligaduras es no-holónoma, se dice que el sistema es no-holónomo.

Todas las ligaduras unilaterales son de este tipo. Puede haber ligaduras bilaterales no-holónomas. Un caso particularmente importante de este tipo de ligadura lo constituyen aquellas que pueden ser expresadas en términos de las velocidades de las partículas en el sistema, es decir:

Estas constituyen ligaduras no-holónomas, a menos que la ecuación pueda ser integrada para encontrar relaciones entre las coordenadas. Debido a que algunas veces pueden ser integrables y convertirse en holónomas, a las ligaduras del tipo, suelen llamárseles semi-holónomas.

Ejemplo de algunas ligaduras no-holónomas.

1).- Las ligaduras representadas por la figura F5-5.5.1e por ser unilateral.

2).- Un ejemplo muy conocido de una ligadura no-holónoma bilateral es el de un objeto que rueda (sin deslizar) sobre una superficie. En particular, un disco que rueda sobre el plano horizontal XY.

c).- Fuerza de ligadura.- Fuerza de ligadura son las responsables de las restricciones del sistema y aparecen espontáneamente al establecer una ligadura y aseguran su cumplimiento. Actúan tanto si el sistema está en reposo o si está en movimiento, a priori son desconocidas a diferencia de las fuerzas aplicadas, no puede ser determinada sin conocer las otras fuerzas que actúan.

Una condición adicional que se imponen a las fuerzas de ligadura es que puedan ser tan grandes en magnitud como fuera necesario para imponer la ligadura, lo que es una idealización de las ligadura reales, pues los hilos se estiran, las varillas se doblan o se quiebran, etc., pero se trabaja dentro de los límites en lo que esto no pasa o su efecto puede despreciarse.

d).- Fuerza aplicada.- La fuerza aplicada es aquella determinada independientemente de cualquier otra fuerza, dando sólo las posiciones (y a veces también las velocidades) de las partículas.

Se pueden elegir cualesquiera parámetros independientes, siempre y cuando describan completamente el estado del sistema. Estas k cantidades ni siquiera tienen que tener dimensiones de longitud. Dependiendo del problema, es probable que sea más conveniente algunos de los parámetros con dimensiones de energía, algunos con dimensiones de área, algunos podría ser adimensionales y así sucesivamente. Sus derivadas respecto al tiempo se llaman velocidades generalizadas.

5.5.1.3 Grados de libertad.- Los grados de libertad de un sistema son el número de coordenadas independientes (sin incluir el tiempo) que se requieren para describir completamente la posición de todas y cada una de las partículas o partes componentes del sistema. El grado de libertad de cada una de las partículas de un sistema físico puede estar restringido por condiciones de ligadura, es decir, por condiciones que impiden que todo el sistema o una parte de él se puedan desplazar en algún sentido. Estas condiciones pueden ser dependientes del tiempo, y pueden ser representables mediante ecuaciones matemáticas o ecuaciones diferenciales integrables, o bien, en muchos casos, solo son representables mediante inecuaciones o sistema de diferencias.

Luego las restricciones limitan la configuración geométrica y el movimiento del sistema. Una restricción genera reacciones y disminuye el número de grados de libertad del sistema.

Supongamos un sistema de:

  • n partículas 3n grados de libertad

  • m restricciones k = (3n - m) grados de libertad requiere k coordenadas para especificar la configuración.

5.5.1.4.- Fuerzas.

Supóngase un sistema sobre el cual, en un instante dado t, actúa una fuerza . En coordenadas cartesianas es:

[5.1.1.O2]

5.5.2.- Coordenadas generalizadas.

5.5.2.1.- Definición.

Se da el nombre de coordenadas generalizadas (denotadas con la letra q) de un sistema de k grados de libertad, a las k magnitudes cualesquiera q1, q2,…, qk que caracterizan totalmente su estado o configuración.

Se pueden elegir cualesquiera parámetros independientes, siempre y cuando describan completamente el estado del sistema. Estas k cantidades ni siquiera tienen que tener dimensiones de longitud. Dependiendo del problema, es probable que sea más conveniente algunos de los parámetros con dimensiones de energía, algunos con dimensiones de área, algunos podría ser adimensionales y así sucesivamente. Sus derivadas respecto al tiempo se llaman velocidades generalizadas.

Las ecuaciones escritas en términos de estas coordenadas son válidas para cualquier sistema de coordenadas (rectangular, cilíndrico, esférico, etc.). Por conveniencia, se usa q como símbolo general para representar este tipo de coordenadas, no importando cuál sea su naturaleza, como ya fue mencionado.

Es de hacer notar que las coordenadas generalizadas fueron definidas a partir de la incorporación de ligaduras holónomas, pues de lo contrario, no se hubiesen podido usar las ligaduras para eliminar las coordenadas dependientes. Si en el sistema existe al menos una ligadura no-holónoma, esto haría que el sistema fuese no-holónomo y, por lo tanto, ya las coordenadas generalizadas no serían independientes.

Se da el nombre de coordenadas generalizadas propias a un conjunto de coordenadas generalizadas que son completamente independientes entre sí.

Luego podemos decir que es el conjunto de k coordenadas que, junto con las ecuaciones de restricción, permiten especificar unívocamente la configuración de un sistema de k grados de libertad.

Coordenadas generalizadas
[5.1.2.O1]
Velocidades generalizadas
[5.1.2.O2]

Casos particulares son las coordenadas cartesianas, las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas, que describen un espacio de representación

 

Cartesianas

Cilíndricas

Esféricas

q1

x

r

q2

y

q3

z

z

Por ejemplo, para una partícula que se mueve sobre una esfera de radio a:

  • La ecuación de restricción es:

  • La partícula tiene 2 grados de libertad Se puede utilizar como coordenadas generalizadas las coordenadas esféricas o las cilíndricas .

    Notase que el par (x, y) no sirve como coordenadas generalizadas en ese ejemplo, ya que dado sus valores, existen dos valores de z que satisfacen la ecuación de restricción.

En el caso de las coordenadas cartesianas, el espacio de representación es coincidente con el espacio físico resal. Para los demás sistemas de coordenadas generalizadas, la relación entre los espacios se establece mediante relaciones, por ejemplo, para el espacio de tres dimensiones:

[5.1.2.O3]

5.5.2.2.- Radio vector o Vector posición.

La ubicación de un punto en el espacio cartesiano viene dado por el vector posición:

Donde es una combinación lineal de los versores o vectores unitarios bases.

Utilizando las relaciones [5.5.2.03], el radio vector en coordenadas generalizadas queda:

[5.1.2.O4]

5.5.2.3.- Transformación de coordenadas.

Conocidas las ecuaciones de restricción, es posible expresar cualquier de las componentes del vector de coordenadas cartesianas en términos de las coordenadas generalizadas:

[5.1.2.O5]

Las restricciones están incluidas en forma implícita en estas relaciones.

5.5.3.- Componentes generalizadas de las fuerzas.

5.5.3.1.- Desplazamiento Virtual..

Cambio ficticio, infinitamente pequeño, en la configuración del sistema del sistema en un instante cualquiera t. Este cambio debe ser compatible con las restricciones del sistema y se supone que ocurre en t = cte. El vector que contiene los desplazamientos virtuales correspondientes a cada una de las coordenadas es:

[5.1.3.O1]

5.5.3.2.- Trabajo Virtual.

Supóngase un sistema sobre el cual, en un instante dado t, actúa una fuerza . Supóngase que en ese instante se impone un desplazamiento virtual sobre el sistema. El trabajo virtual efectuado por las fuerzas es:

[5.1.3.O2]

El vector de fuerzas externas en componentes cartesianas se separa en un vector que contiene fuerzas activas y un vector que contiene las reacciones. El vector de fuerzas es entonces:

[5.1.3.O3]

5.5.3.3.- Sistemas holonómicos.

Donde las ligaduras se pueden expresar como ecuaciones que solo involucran el tiempo y las coordenadas de las partículas. El resto son No holonómicas.

Luego las restricciones deben cumplir con:

  • Toda configuración posible del sistema satisface una ecuación del tipo .

  • Para cualquier desplazamiento virtual compatible, el trabajo efectuado por las restricciones es nulo.

En general, si existen m restricciones, cada una ecuación del tipo aparecen m reacciones.

Un sistema holonómico es aquel cuyas restricciones son todas holonómicas.

El trabajo virtual de las fuerzas en un sistema holonómico es:

[5.1.3.O4]

Los dos términos del lado derecho de la ecuación representan el trabajo virtual de las fuerzas activas y el de las reacciones respectivamente. Dada las condiciones del sistema, el segundo término es nulo y el trabajo virtual es entonces:

[5.1.3.O5]

5.5.3.4.- Componentes generalizadas de las fuerzas.

Sea el vector de fuerzas generalizadas asociadas a las componentes de las coordenadas generalizadas .

[5.1.3.O6]

El vector Q se determina igualando las expresiones del trabajo virtual evaluadas en ambos sistemas de coordenadas.

[5.1.3.O7]

Usando la ecuación [5.5.2.05] de transformación de coordenadas, y recordando que el desplazamiento virtual ocurre en un tiempo constante se puede escribir se puede escribir:

[5.1.3.O8]

El término del lado derecho de la ecuación [5.5.3.06], queda entonces:

[5.1.3.O9]

Comparando con el lado derecho de la ecuación [5.5.3.07], se tiene que:

[5.1.3.10]

Donde es la componente i de la fuerza generalizada .

Nótese que:

  • no es necesariamente una fuerza. Si es una rotación, entonces es un torque.

  • Las componentes i de no es, en general, la componente de en la dirección de .
  • no depende solamente de sino de todos los , es decir: .

  • De las condiciones establecidas para sistemas con reacciones holonómicas, y de la definición de fuerzas generalizadas, se concluye que las componentes generalizadas de una reacción holonómicas son nulas.

5.5.3.5.- Caso fuerzas conservativas.

Supóngase el caso que las fuerzas provienen de un potencial tal que:

[5.1.3.11]

5.5.4.- Principio de D'Alambert.

Teniendo en cuenta la segunda Ley de Newton:

Donde:

Cantidad de movimiento lineal (cambiamos el símbolo de L para no confundir con el Lagrangiano, que posteriormente veremos)

Fuerza conocida.

Fuerza debida a la ligadura.

(Principio de D'Alambert)

[5.5.4.01]

Es importante recalcar sobre la expresión anterior que:

  • No aparecen las fuerzas de ligadura.

  • Tenemos una ecuación Dinámica.

5.5.5.- Ecuación de Lagrange para un sistema Holonómico.

Se formulan las ecuaciones del movimiento en términos de las coordenadas generalizadas. Se tiene que:

  • Se reduce el número de ecuaciones a resolver.

  • " No aparecen las reacciones a resolver.

5.5.5.1.- Introducción a las ecuaciones de Lagrange.

Considerando el movimiento de una partícula en un plano bajo la acción de una fuerza . Escribimos la ecuación de Newton en coordenadas polares:

Queremos construir una formulación energética, en el sentido de que podamos partir de la energía cinética:

y llegar a las ecuaciones de Newton, por medio de algún operador D tal que, por ejemplo . Notablemente este no es una tarea complicada. Trabajando un poco dicho término:

Podemos escribir la componente radial de la ecuación de Newton en términos de la energía cinética:

Podemos escribir ambas como una sola, en términos de la coordenada :

[5.5.5.01]

Esta es la ecuación de Lagrange. La demostración es completamente correcta, pero deja en duda un aspecto muy importante, se realizó la deducción para una sola partícula, donde la fuerza incluye "todas" las interacciones que actúan sobre ella, incluidas las fuerzas de vínculo o ligaduras, pero con el principio de D'Alambert se eliminó estas últimas para un sistema, por lo que mejor sería la deducción de las ecuaciones de Lagrange a partir del Principio de D'Alambert, demostrando que aquella vale para todo el sistema (no sólo una partícula) y para cualquier coordenadas generalizadas q compatibles con los grados de libertad del sistema.

5.5.5.2.- Ecuaciones de Lagrange.

Trabajando sobre la ecuación de D'Alambert para un sistema arbitrario de n partículas:

Los sumandos de la ecuación no son independientes, por lo que la ecuación de D'Alambert lo escribiremos en términos de las 3n-k coordenadas generalizadas qi del sistema, en función de las cuales las antiguas coordenadas, están dadas por:

Nuestro objetivo es demostrar que, en términos de estas coordenadas generalizadas, que el principio de D'Alambert se puede escribir como:

[5.5.5.02]

Cuya demostración lo haremos en el acápite posterior. Si las ligaduras son holónomas, las coordenadas generalizadas qi son independientes y, por lo tanto es la única manera que se cumpla la ecuación de D'Alambert es que se anule cada coeficiente por separado.

Si la definición de fuerzas generalizadas es:

Entonces:

Supongamos ahora que algunas de las fuerzas aplicadas sobre el sistema derivan de una función potencial U, que es la energía potencial del sistema: , en dicho caso podemos escribir las fuerzas generalizadas:

Reemplazando en las ecuaciones anteriores, podemos incorporar el potencial en el primer término:

[5.5.5.03]

Como el potencial U solo depende de la posición, debe se independiente de las velocidades generalizadas . Por ello podemos incluir el potencial U en la derivada parcial respecto de , obteniendo la ecuación de Lagrange:

[5.5.5.04]

 

Donde hemos definido el Lagrangiano

[5.5.5.05]

5.5.5.3.- Demostración de las ecuaciones de Lagrange.

Nos falta demostrar:

A partir del principio de D'Alambert (Sin anular las fuerzas de ligadura):

El trabajo virtual de las fuerzas generalizadas es:

(1)

También:

Ahora bien, por un lado tenemos que:

y por otro lado:

Reemplazando en la ecuación anterior:

                  

(2)

Sumando (1) y (2) se tiene:

      (Es igual a [5.5.5.02], por lo que quedo demostrado)

5.5.5.4.- Resumen de la ecuación de Lagrange.- La ecuación de Lagrange es muy útil para deducir ecuaciones de movimiento usando energías potenciales y cinéticas. Como para calcular esas energías se usan posiciones y velocidades, no se involucra ninguna aceleración y de esta manera la parte cinemática del problema se simplifica mucho. Usando un sistema adecuado de coordenadas adecuado, se pueden obtener las ecuaciones de movimiento de una manera sencilla y directa. A continuación se enlistan tres formas de la ecuación de Lagrange:

1.- La forma general es:

[1]

en donde:

[2]

2.- Para sistemas conservativos:

[3]

en donde:

[4]

3.- La forma alternativa global, es:

[5]

Finalmente, resumamos tres métodos para calcular las fuerzas generalizadas.

Notamos que en la deducción de la ecuación de Lagrange, la fuerza generalizada puede calcularse de acuerdo con:

[6]

Sin embargo, la fuerza generalizada también puede calcularse considerando el trabajo virtual realizado por la fuerza generalizada al actuar a través de un desplazamiento virtual generalizado, es decir, . Eso se ilustra en el ejemplo N° 2.

Un tercer método para calcular fuerzas generalizadas se aplica solamente a sistema de fuerzas conservativas y se usó al deducir la ecuación de Lagrange para un sistema conservativo; es decir:

[7]

Este método también se ilustrará mediante un ejemplo. En la práctica, la ecuación de Lagrange para un sistema conservativo se usa invariablemente, en lugar de la ecuación de Lagrange en forma general, con la ecuación anterior para fuerzas generalizadas.

5.5.5.5.- Ejemplos ilustrativos:

1.- Aplicación de las ecuaciones para fuerzas generalizadas. Calcular las fuerzas generalizada en coordenadas cilíndricas (r, , z), para una partícula sujeta a la acción de una fuerza F, aplicando las ecuaciones para fuerzas generalizadas.

Solución

Considerando que la fuerza está expresada como:

y la relación entre las coordenadas rectangulares (x, y, z) y cilíndricas (r, , z), es:

Aplicando las ecuaciones para las fuerzas generalizadas, tenemos:

Luego:

2.- Calcular fuerzas generalizadas considerando el trabajo virtual. Calcular las fuerzas generalizadas en coordenadas cilíndricas (r, , z), para una partícula sujeta a la acción de una fuerza F, considerando el trabajo virtual realizado.

Solución

La fuerza F puede descomponerse en las componentes r, y z, que son Fr, F y Fz respectivamente. Designando las fuerzas generalizadas en las direcciones r, y z, por Qr, Q y Qz, respectivamente y considerando el trabajo virtual realizado a través de los desplazamientos virtuales r, y z, tenemos:

Por consiguiente las fuerzas generalizadas, son:

3.- Ecuación de lagrange - movimiento de una partícula en coordenadas cilíndricas. Usando la ecuación de Lagrange, deducir las ecuaciones de movimiento en coordenadas cilíndricas (r, , z), para una partícula de masa m sujeta a la acción de una fuerza F.

Solución

Expresando las relaciones entre las coordenadas cartesianas (x, y, z) y cilíndricas(r, , z), como:

Las derivadas con respecto al tiempo son:

La energía cinética Ek de la partícula, es:

Ilustraremos la forma general de la ecuación de Lagrange:

en donde . Las fuerzas generalizadas Qr, Q y Qz ya han sido calculadas en los ejemplos anteriores.

Para la coordenada radial r, tenemos:

Donde: y la ecuación de movimiento es:

Para la coordenada transversal , tenemos:

Donde: y la ecuación de movimiento es:

Para la coordenada axial z, tenemos:

Donde: y la ecuación de movimiento es:

4.- Ecuación de Lagrange - vibración de una partícula. Deducir la ecuación de movimiento de un péndulo invertido que está restringido por un resorte cuya constante es k, como se indica en la figura. Se supone que la masa del péndulo está concentrada a una distancia l del punto de apoyo, y que el resorte es lo suficientemente rígido para que el péndulo sea estable. Úsese la ecuación de Lagrange.

 

 

 

Figura Pb-4

Solución

Como el sistema es conservativo, se usará la ecuación correspondiente a sistemas conservativos (forma 2). Suponemos movimientos pequeños y usamos , para la masa m. Las energías potencial y cinética se calculan como,

El Lagrangiano es:

Aplicando la ecuación de Lagrange:

Con: , obtenemos la ecuación de movimiento:

Haciendo lineal la ecuación de movimiento, al notar que, para ángulos pequeños , tenemos:

o bien:

5.- Ecuación de Lagrange - vibración de una partícula. Deducir la ecuación del movimiento del ejemplo anterior, usando la forma general de la ecuación de Lagrange.

Solución

La ecuación de Lagrange, en la forma general, es:

A partir del ejemplo anterior, tenemos:

Por tanto, y la fuerza generalizada Q puede calcularse a partir de:

Por consiguiente, la ecuación de movimiento es:

 

6.- Ecuación de Lagrange - vibración de una partícula. Deducir las ecuaciones de movimiento para las vibraciones libres y forzada de un sistema que tiene un grado de liberta y que consiste de una masa y un resorte (ver figura).

 

 

 


Figura Pb-6

Solución

Usamos la ecuación de Lagrange en la forma:

Las energías cinética y potencial, son:

y el Lagrangiano es:

La fuerza generalizada, no conservativa, es:

Aplicando la ecuación de Lagrange, con:

Obtenemos:

5.5.5.6.- Ejemplos ilustrativos, para sistema de partículas:

1.- Ecuación de Lagrange - dos partículas en vibración libre. Deducir las ecuaciones de movimiento para la vibración libre de un sistema que tiene dos grados de libertad, como se indica en la figura.

Figura Pb2-1

Solución

Ya que el sistema es conservativo, usaremos la ecuación de Lagrange para el sistema conservativo:

en donde:

Las energías cinética y potencial son:

y el Lagrangiano, es:

Para la coordenada x1, tenemos:

y la ecuación de movimiento, es:

Para la coordenada x2, tenemos:

y la ecuación de movimiento, es:

2.- Ecuación de Lagrange - dos partículas en vibración forzada. Deducir las ecuaciones de movimiento para la vibración forzada de un sistema que tiene dos grados de libertad, como se indica en la figura.

Figura Pb2-2

Solución

Como la acción del sistema de fuerzas es parcialmente conservativo y parcialmente no conservativo, usaremos la ecuación de Lagrange en la forma:

Las energías cinética y potencial, son:

y el Lagrangiano, es:

Para la coordenada x1, tenemos:

y la ecuación de movimiento, es:

Para la coordenada x2, tenemos:

y la ecuación de movimiento, es:

3.- Ecuación de Lagrange - dos partículas. Usando la ecuación de Lagrange, deducir las ecuaciones de movimiento para el sistema mostrado en la figura.

 

 

 

 

Figura Pb2-3

Solución

Tomando a x y como coordenadas generalizadas para el sistema, tenemos, para la partícula m, , Sea v la velocidad de la partícula. Entonces:

Las energías cinética y potencial, son:

y el Lagrangiano, es:

Para la coordenada x, tenemos:

y la ecuación de movimiento, es:

Para la coordenada , tenemos:

y la ecuación de movimiento, es:

4.- Ecuación de Lagrange - dos partículas. Usando la ecuación de Lagrange en la forma general, deducir las ecuaciones de movimiento para el sistema del ejemplo anterior. Calcular las fuerzas generalizadas de dos maneras; en términos de la energía potencial, y del trabajo virtual.

Solución

A partir del ejemplo anterior, tenemos:

Las fuerzas generalizadas pueden calcularse como:

A partir de la consideración del trabajo virtual, obtenemos:

El término se obtiene como se indica en la figura, donde mg es el peso, es el desplazamiento virtual, y es la componente vertical del desplazamiento vertical.

Para la coordenada x, tenemos:

Figura Pb2-4

y la ecuación de movimiento, es:

Para la coordenada , tenemos:

y la ecuación de movimiento, es:

Por su puesto, estas dos ecuaciones son iguales a las que se dedujeron en el ejemplo anterior.

5.5.6.- Observaciones.

  • En la ecuación de Lagrange, existe una ecuación por cada grado de libertad, por lo que la elección de coordenadas generalizadas libres conduce directamente al mínimo número de ecuaciones dinámicas.
  • Se trata de ecuaciones diferenciales de segundo orden (al existir derivadas temporales de los términos , que dependen, a su vez, de )
  • En las ecuaciones de Lagrange han quedado eliminadas todas las reacciones de enlace que no realizan trabajo virtual, correspondiente a los enlaces lisos. Esto contrasta con las ecuaciones procedente de los teoremas Newtonianos en las que, en principio, deben considerarse estas reacciones.
  • Una vez evaluadas las expresiones de Ek y de Qi, las ecuaciones de Lagrange se pueden obtener de forma automática sin más que aplicar las reglas análiticas de derivación correspondiente a la ecuación.
  • El significado físico del término es de las fuerzas de inercia.
  • Por último, los términos pueden interpretarse como fuerzas ficticias procedentes de la elección de coordenadas generalizadas . En caso de que éstas sean simplemente las componentes cartesianas de los vectores desaparecerían. Estas fuerzas se añaden a las fuerzas generalizadas Qi en la dirección de qi.


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